Exercice 6, § 4

Avec les notations du n° 6, montrer que, pour qu’il existe sur $X$ une mesure $\mu \neq 0$ telle que, pour toute partie finie $J$ de $L$ et toute fonction $f_J \in \mathscr{C}(X_J; \mathbf{C})$, on ait

il faut et il suffit que les trois conditions suivantes soient vérifiées:

1° $\mu_\lambda \neq 0$ pour tout $\lambda \in L$.

2° Il existe une partie finie $J_0$ de $L$ telle que la famille $(\mu_\lambda(1))_{\lambda \in L - J_0}$ soit multipliable dans $\mathbf{C}^*$ (et ait donc un produit $\neq 0$).

3° La famille $(\| \mu_\lambda \|)_{\lambda \in L}$ est multiplicable dans $\mathbf{R}_+^*$ (et a donc un produit $\neq 0$).

Dans quels cas le second membre de (1) est-il égal à 0 pour toute partie finie $J$ de $L$ et toute fonction $f_J \in \mathscr{C}(X_J; \mathbf{C})$?