Bài tập 6, § 4

Với các ký hiệu của No. 6, hãy chỉ ra rằng, để tồn tại một độ đo $\mu \neq 0$ trên $X$ sao cho

với mọi tập con hữu hạn $J$ của $L$ và mọi hàm $f_J \in \mathscr{C}(X_J; \mathbf{C})$, điều kiện cần và đủ là ba điều kiện sau đây được thỏa mãn:

$1^\circ$ $\mu_\lambda \neq 0$ với mọi $\lambda \in L$. $2^\circ$ Tồn tại một tập con hữu hạn $J_0$ của $L$ sao cho họ $(\mu_\lambda(1))_{\lambda \in L - J_0}$ là nhân được trong $\mathbf{C}^*$ (do đó có một tích $\neq 0$). $3^\circ$ Họ $(\|\mu_\lambda\|)_{\lambda \in L}$ là nhân được trong $\mathbf{R}_+^*$ (do đó có một tích $\neq 0$).

Trong những điều kiện nào thì vế thứ hai của (1) bằng 0 với mọi tập con hữu hạn $J$ của $L$ và mọi hàm $f_J \in \mathscr{C}(X_J; \mathbf{C})$?