Exercice 1, § 3

Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue sur l’intervalle $X = \{0, 1\}$ de $\mathbf{R}$. Pour tout entier $n = 2^h + k$ ($h \geq 0, 0 \leq k < 2^h$), soit $f_n$ la fonction égale à 1 dans l’intervalle $\{k/2^h, (k+1)/2^h\}$, à 0 ailleurs dans $X$. Montrer que la suite $(f_n)$ converge en moyenne d’ordre $p$ vers 0 pour tout $p > 0$, mais que la suite $(f_n(x))$ ne converge pour aucun point $x \in X$.