Bài tập 1, § 3

Cho $\mu$ là độ đo Lebesgue trên khoảng $X = [0, 1[$ của $\mathbf{R}$. Với mọi số nguyên $n = 2^h + k$ ($h \geqslant 0, 0 \leqslant k < 2^h$), cho $f_n$ là hàm bằng 1 trên khoảng $[k/2^h, (k+1)/2^h[$ và bằng 0 ở mọi nơi khác trong $X$. Chứng minh rằng dãy $(f_n)$ hội tụ theo nghĩa trung bình cấp $p$ về 0 với mọi $p > 0$, nhưng dãy $(f_n(x))$ không hội tụ tại bất kỳ điểm $x \in X$ nào.