Exercice 11, § 4

a)** Soit $\Gamma$ un ensemble quelconque de parties d’un ensemble A. Soit $\Psi$ l’ensemble des parties de A de la forme

où les $X_i$ sont des ensembles de $\Gamma$, $m$ un entier quelconque $\geq 1$, $p$ un entier quelconque $\geq 0$. Montrer que le plus petit clan $\Phi$ contenant $\Gamma$ est l’ensemble des réunions finies d’ensembles de $\Psi$.

b) Soit $\Delta$ l’ensemble des intersections finies d’ensembles de $\Gamma$. Montrer que, pour tout espace vectoriel F, l’ensemble des combinaisons linéaires (à coefficients dans F) de fonctions caractéristiques d’ensembles du clan engendré par $\Gamma$ est identique à l’ensemble des combinaisons linéaires de fonctions caractéristiques d’ensembles de $\Delta$.

c) Soient X un espace topologique, $\Gamma$ l’ensemble des parties compactes de X. Montrer que le clan engendré par $\Gamma$ est identique à l’ensemble des réunions finies de parties de X de la forme $X \cap \complement Y$, où X et Y sont des ensembles compacts.