Bài tập 11, § 4

a) Cho $\Gamma$ là một tập hợp tùy ý các tập con của một tập hợp $A$. Gọi $\Psi$ là tập hợp các tập con của $A$ có dạng

trong đó các $X_i$ là các tập hợp trong $\Gamma$, $m$ là một số nguyên bất kỳ $\geq 1$, và $p$ là một số nguyên bất kỳ $\geq 0$. Chứng minh rằng clan nhỏ nhất $\Phi$ chứa $\Gamma$ là tập hợp các hợp hữu hạn của các tập hợp trong $\Psi$.

b) Gọi $\Delta$ là tập hợp các giao hữu hạn của các tập hợp trong $\Gamma$. Chứng minh rằng, với mọi không gian vectơ $F$, tập hợp các tổ hợp tuyến tính (với các hệ số trong $F$) của các hàm đặc trưng của các tập hợp thuộc clan sinh bởi $\Gamma$ trùng với tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng của các tập hợp trong $\Delta$.

c) Cho $X$ là một không gian tôpô, $\Gamma$ là tập hợp các tập con compact của $X$. Chứng minh rằng clan sinh bởi $\Gamma$ trùng với tập hợp các hợp hữu hạn của các tập con của $X$ có dạng $A \cap \mathbf{C} B$, trong đó $A$ và $B$ là các tập compact.