Exercice 13, § 4

a) Soit $X$ un espace localement compact, et soit $\Gamma$ une base de la topologie de $X$, formée d’ensembles relativement compacts. Soit $\mathscr{U}$ une structure uniforme compatible avec la topologie de $X$, et soit $\mathscr{S}$ un système fondamental d’entourages de cette structure. Soit $M \mapsto \lambda(M)$ une fonction numérique finie et $\geqslant 0$ définie dans $\Gamma$. Pour tout ensemble compact $K \subset X$, et tout entourage $V \in \mathscr{S}$, soit $\alpha_V(K)$ la borne inférieure des nombres $\sum_i \lambda(U_i)$ pour tous les recouvrements finis $(U_i)$ de $K$ formés d’ensembles de $\Gamma$ petits d’ordre $V$; on suppose que lorsque $V$ parcourt $\mathscr{S}$, la borne supérieure $\alpha(K)$ des nombres $\alpha_V(K)$ est finie. Montrer qu’il existe sur $X$ une mesure $\mu$ (et une seule) telle que $\mu(K) = \alpha(K)$ pour tout ensemble compact $K$ (utiliser le th. 5).

b) Soient $\Psi$ l’ensemble des parties boréliennes de $X$, $\alpha$ une application de $\Psi$ dans $(0, +\infty)$ satisfaisant aux conditions suivantes: (i) si $B_1, B_2$ sont deux parties boréliennes disjointes de $X$, on a $\alpha(B_1 \cup B_2) = \alpha(B_1) + \alpha(B_2)$. (ii) Si $B$ est une partie compacte de $X$, on a $\alpha(B) < +\infty$. (iii) Si $B$ est une partie borélienne de $X$, on a $\alpha(B) = \inf \alpha(U)$, où $U$ parcourt l’ensemble des parties ouvertes de $X$ contenant $B$. Alors il existe une mesure positive $\mu$ sur $X$ et une seule telle que $\alpha(B) = \mu^*(B)$ pour toute partie borélienne $B$ de $X$ qui peut être recouverte par une suite de parties compactes.

c) Pour tout $B \in \Psi$, on pose $\alpha(B) = 0$ si $B$ peut être recouvert par une suite de parties compactes, $\alpha(B) = +\infty$ dans le cas contraire. Alors les conditions (i), (ii), (iii) de b) sont satisfaites. On a $\mu = 0$, donc $\alpha(B) \neq \mu^*(B)$ si $B$ ne peut être recouvert par une suite de parties compactes.