Bài tập 13, § 4

a) Cho $X$ là một không gian địa phương compact, và cho $\Gamma$ là một cơ sở của tôpô của $X$ gồm các tập compact tương đối. Cho $\mathscr{U}$ là một cấu trúc đều tương thích với tôpô của $X$, và cho $\mathscr{S}$ là một hệ cơ bản các lân cận cho cấu trúc này. Cho $M \mapsto \lambda(M)$ là một hàm số hữu hạn $\geqslant 0$ xác định trên $\Gamma$. Với mọi tập compact $K \subset X$ và mọi lân cận $V \in \mathscr{S}$, gọi $\alpha_V(K)$ là cận dưới của các số $\sum_i \lambda(U_i)$ đối với mọi phủ hữu hạn $(U_i)$ của $K$ lập bởi các tập thuộc $\Gamma$ nhỏ cấp $V$; giả sử rằng khi $V$ chạy trên $\mathscr{S}$, cận trên $\alpha(K)$ của các số $\alpha_V(K)$ là hữu hạn. Chứng minh rằng tồn tại một độ đo $\mu$ trên $X$ (và duy nhất một độ đo) sao cho $\mu(K) = \alpha(K)$ với mọi tập compact $K$ (sử dụng Định lý 5).

b) Cho $\Psi$ là tập hợp các tập con Borel của $X$, $\alpha$ là một ánh xạ của $\Psi$ vào $[0,+\infty]$ thỏa mãn các điều kiện sau: (i) Nếu $B_1, B_2$ là hai tập con Borel rời nhau của $X$, thì $\alpha(B_1 \cup B_2) = \alpha(B_1) + \alpha(B_2)$. (ii) Nếu $B$ là một tập con compact của $X$ thì $\alpha(B) < +\infty$. (iii) Nếu $B$ là một tập con Borel của $X$ thì $\alpha(B) = \inf \alpha(U)$, trong đó $U$ chạy trên tập hợp các tập con mở của $X$ chứa $B$.

Khi đó, tồn tại duy nhất một độ đo dương $\mu$ trên $X$ sao cho $\alpha(B) = \mu^*(B)$ với mọi tập con Borel $B$ của $X$ có thể được phủ bởi một dãy các tập compact.

c) Với mọi $B \in \Phi$, đặt $\alpha(B) = 0$ nếu $B$ có thể được phủ bởi một dãy các tập compact, và $\alpha(B) = +\infty$ trong trường hợp ngược lại. Khi đó, các điều kiện (i), (ii), (iii) của b) được thỏa mãn. Ta có $\mu = 0$, do đó $\alpha(B) \neq \mu^*(B)$ nếu $B$ không thể được phủ bởi một dãy các tập compact.