Exercice 17, § 4

Soit $X$ l’espace localement compact défini dans Top. gén., chap. I, 3e éd., § 9, exerc. 12.

a) Soit $H$ une partie compacte de l’espace localement convexe $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ muni de la topologie de la convergence compacte ; montrer que les fonctions $f \in H$ sont uniformément bornées dans $X$ et qu’il existe $c \in X$ tel que, pour tout $x \geq c$, toutes les fonctions de $H$ soient constantes. (Raisonner par l’absurde ; si les fonctions de $H$ n’étaient pas uniformément bornées dans $X$, il y aurait une suite croissante $(x_n)$ de points de $X$ telle que $\sup(|H(x_n)|) \geq n$, $|H(x_n)|$ désignant l’ensemble des $|f(x_n)|$ pour $f \in H$; observer que la suite $(x_n)$ est convergente dans $X$. De même, pour tout $x \in X$, soit $\delta(x)$ la borne supérieure des oscillations de toutes les fonctions $f \in H$ dans l’intervalle $]x, \to[$; $\delta(x)$ est finie et décroissante, donc il existe $d \in X$ tel que $\delta(x)$ soit constante pour $x \geq d$. Pour voir que cette constante $\beta$ est nulle, raisonner par l’absurde comme précédemment, en formant deux suites croissantes $(s_n), (t_n)$ de points de $X$ telles que $s_n \leq t_n \leq s_{n+1} \leq t_{n+1}$ et une suite $(f_n)$ de fonctions de $H$ telle que $|f_n(s_n) - f_n(t_n)| \geq \beta/2.$

En particulier, $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ est somme directe de $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ et de $\mathbf{C}$. 1.

b) Montrer que sur $X$ toute mesure a un support compact (pour tout $x \in X$, soit $f_x$ la fonction caractéristique de l’intervalle $]-, x]$, qui est continue et à support compact ; considérer dans $X$ la fonction croissante $|\mu|(f_x)$).

c) Déduire de a) et b) que dans $\mathscr{M}(X; \mathbf{C}) = \mathscr{M}^1(X; \mathbf{C}) = \mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$, les parties bornées pour la topologie $\mathscr{T}$ de la convergence uniforme dans les parties compactes de $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ sont les parties bornées pour la topologie ultraforte (chap. III, § 1, exerc. 15). Montrer que $\mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$ n’est pas quasi-complet pour la topologie $\mathscr{T}$ (considérer les mesures $\varepsilon_x$ pour $x \in X$) ; en déduire que, pour la topologie de la convergence compacte, $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ n’est ni tonnelé, ni bornologique (cf. Esp. vect. top., chap. III, § 3, n° 7, cor. 2 du th. 4 et exerc. 18).

d) Montrer que sur $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ la topologie $\mathscr{T}_0$ (limite inductive des topologies des espaces de Banach $\mathscr{K}(X, K; \mathbf{C})$) est identique à la topologie de la convergence uniforme, et que, muni de cette topologie, $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ est complet. (Soit $V$ un voisinage de $0$ pour $\mathscr{T}_0$ ; pour tout $x \in X$, soit $r_x$ le plus grand nombre $> 0$ tel que $V$ contienne toutes les fonctions continues $f$ de support contenu dans $]-, x]$ et telles que $\|f\| \leq r_x$. Montrer que la borne inférieure de $r_x$ dans $X$ est $> 0$, en prouvant qu’il ne peut exister de suite croissante $(x_n)$ de points de $X$ telle que $\lim_{n \to \infty} r_{x_n} = 0$.