Bài tập 17, § 4

Cho $X$ là không gian địa phương compact được xác định trong GT, I, §9, Exer. 11.

a) Cho $H$ là một tập con compact của không gian lồi địa phương $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ được trang bị tôpô hội tụ compact; hãy chứng minh rằng các hàm $f \in H$ bị chặn đều trên $X$ và tồn tại $c \in X$ sao cho, với mọi $x \geqslant c$, tất cả các hàm của $H$ đều hằng. (Lập luận bằng phản chứng; nếu các hàm của $H$ không bị chặn đều trên $X$, thì sẽ tồn tại một dãy tăng $(x_n)$ các điểm của $X$ sao cho $\sup(|H(x_n)|) \geqslant n$, trong đó $|H(x_n)|$ kí hiệu tập hợp các $|f(x_n)|$ với $f \in H$; nhận xét rằng dãy $(x_n)$ hội tụ trong $X$. Tương tự, với mọi $x \in X$, đặt $\delta(x)$ là cận trên của các dao động của tất cả các hàm $f \in H$ trong khoảng $[x, \to[$; $\delta(x)$ là hữu hạn và giảm, do đó tồn tại $d \in X$ sao cho $\delta(x)$ là hằng đối với $x \geqslant d$. Để thấy rằng hằng này $\beta$ bằng không, lập luận bằng phản chứng như trên, bằng cách lập hai dãy tăng $(s_n), (t_n)$ các điểm của $X$ sao cho $s_n \leqslant t_n \leqslant s_{n+1} \leqslant t_{n+1}$ và một dãy $(f_n)$ các hàm trong $H$ sao cho $|f_n(s_n) - f_n(t_n)| \geqslant \beta/2$.)

Đặc biệt, $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ là tổng trực tiếp của $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ và $\mathbf{C} \cdot 1$.

b) Chứng minh rằng trên $X$, mọi độ đo đều có giá compact (với mọi $x \in X$ đặt $f_x$ là hàm đặc trưng của khoảng $]\leftarrow, x]$, là hàm liên tục và có giá compact; xét trên $X$ hàm tăng $|\mu|(f_x)$).

c) Suy ra từ a) và b) rằng trong $\mathscr{M}(X; \mathbf{C}) = \mathscr{M}^1(X; \mathbf{C}) = \mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$, các tập hợp bị chặn đối với tôpô $\mathscr{T}$ của hội tụ đều trên các tập con compact của $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ là các tập hợp bị chặn đối với tôpô siêu mạnh (Ch. III, §1, Exer. 15). Chứng minh rằng $\mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$ không nửa đầy đủ đối với tôpô $\mathscr{T}$ (xét các độ đo $\varepsilon_x$ với $x \in X$); từ đó, suy ra rằng đối với tôpô hội tụ compact, $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ không phải là không gian thùng cũng không phải là không gian sinh (cf. TVS, III, §4, No. 2, Cor. 4 of Th. 1 and Exer. 18 below).

d) Chứng minh rằng trên $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ tôpô $\mathscr{T}_0$ (giới hạn trực tiếp của các tôpô của các không gian Banach $\mathscr{K}(X, K; \mathbf{C})$) trùng với tôpô của sự hội tụ đều, và rằng, được trang bị tôpô này, $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ là đầy đủ. (Cho $V$ là một lân cận của 0 đối với $\mathscr{T}_0$; với mỗi $x \in X$, gọi $r_x$ là số lớn nhất $> 0$ sao cho $V$ chứa mọi hàm liên tục $f$ có giá đỡ được chứa trong $]\leftarrow, x]$ và sao cho $\|f\| \leqslant r_x$. Chứng minh rằng cận dưới của $r_x$ trong $X$ là $> 0$, bằng cách chứng minh rằng không thể tồn tại một dãy tăng $(x_n)$ các điểm của $X$ sao cho $\lim_{n \to \infty} r_{x_n} = 0$.)