Exercice 23, § 4

Sur l’espace $\mathbf{R}^n$, soient $\mu$ la mesure de Lebesgue, $|x|$ une norme telle que la boule unité pour cette norme ait une mesure égale à 1, $(\mathbf{x}_k)_{k \geq 1}$ une suite infinie de points distincts d’un ensemble borné intégrable $B$ tel que $\mu(B) = 1$. Pour tout entier $m$, on désigne par $d_m$ la borne inférieure des nombres $|\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_j|$ pour $1 \leq i < j \leq m$. Montrer que l’on a $\lim_{m \to \infty} \inf md_m^n \leq \alpha_n^{-1}$, où

(Raisonner par l’absurde en supposant que pour un $\varepsilon > 0$, il existe $m_0$ tel que $md_m^n > h_n$ pour $m \geq m_0$, avec $h_n = \alpha_n^{-1} + \varepsilon$. Pour $1 \leq i < m$, soit $B_i$ la boule de centre $\mathbf{x}_i$ et de rayon $\frac{1}{2}h_n m^{-1/n}$, et pour $m \leq i \leq 2^m$, soit $B_i$ la boule de centre $\mathbf{x}_i$ et de rayon $\frac{1}{2}h_n (2i^{-1/n} - m^{-1/n})$. Montrer que les $2^m m$ boules $B_i$ sont deux à deux sans point commun, et évaluer la mesure de leur réunion, en utilisant la formule d’Euler–Maclaurin).