Bài tập 23, § 4

Trên không gian $\mathbf{R}^n$, cho $\mu$ là độ đo Lebesgue, $|x|$ là một chuẩn sao cho quả cầu đơn vị đối với chuẩn này có độ đo bằng 1, và $(x_k)_{k \geqslant 1}$ là một dãy vô hạn các điểm phân biệt của một tập hợp khả tích bị chặn B sao cho $\mu(B) = 1$. Với mỗi số nguyên m, ký hiệu $d_m$ là cận dưới lớn nhất của các số $|x_i - x_j|$ với $1 \leqslant i < j \leqslant m$. Chứng minh rằng

trong đó

(Lập luận bằng phản chứng, giả sử rằng với một $\varepsilon > 0$ nào đó tồn tại một $m_0$ sao cho $md_m^n > h_n$ với $m \geq m_0$, với $h_n = \alpha_n^{-1} + \varepsilon$. Với $1 \leq i < m$, cho $B_i$ là quả cầu có tâm $x_i$ và bán kính $\frac{1}{2} h_n m^{-1/n}$, và với $m \leq i \leq 2^n m$ cho $B_i$ là quả cầu có tâm $x_i$ và bán kính $\frac{1}{2} h_n (2i^{-1/n} - m^{-1/n})$. Chứng minh rằng $2^n m$ quả cầu $B_i$ là từng đôi một rời nhau, và tính độ đo của hợp của chúng, sử dụng công thức Euler–Maclaurin.)