Exercice 4, § 4

Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue sur l’intervalle $X = \{0, 1\}$.

a) Définir dans $X$ un ensemble parfait rare $A$, dont la mesure soit un nombre quelconque $\alpha$ tel que $0 \leqslant \alpha < 1$ (utiliser la méthode de construction de l’ensemble triadique de Cantor).

b) Définir dans $X$ une suite $(A_n)$ d’ensembles intégrables rares sans point commun deux à deux, telle que $\mu(A_n) = 2^{-n}$ et que tout intervalle contigu à $B_n = \bigcup_{k=1}^n A_k$ contienne une partie de $A_{n+1}$ de mesure $> 0$. Si $A = \bigcup A_n$, montrer que $A$ est un ensemble maigre de mesure 1, et $\complement A$ un ensemble non maigre et négligeable.

c) Soit $H = \bigcup_{n=0}^\infty A_{2n+1}$; montrer que, pour tout intervalle ouvert $I \subset X$, les intersections de $I$ avec $H$ et avec $\complement H$ ont une mesure $> 0$. Soit $f$ une fonction égale presque partout à la fonction caractéristique $\varphi_H$; montrer qu’il n’existe aucune suite $(f_n)$ de fonctions continues dans $X$, convergente en tout point de $X$, et dont la limite soit égale à $f$ (remarquer que $f$ est nécessairement discontinue en tout point de $X$, et utiliser l’exerc. 22 de Top. gén., chap. IX, 2e éd., § 5).