Bài tập 4, § 4

Cho $\mu$ là độ đo Lebesgue trên khoảng $X = [0, 1]$.

a) Định nghĩa trong $X$ một tập hợp hoàn hảo không trù mật $A$ có độ đo là một số tùy ý $\alpha$ sao cho $0 \leq \alpha < 1$ (sử dụng phương pháp dựng tập Cantor tam phân).

b) Định nghĩa trong $X$ một dãy $(A_n)$ các tập hợp khả tích rời nhau từng đôi một, không trù mật, sao cho $\mu(A_n) = 2^{-n}$ và sao cho mọi khoảng kề với $B_n = \bigcup_{k=1}^n A_k$ đều chứa một tập con của $A_{n+1}$ có độ đo $> 0$. Nếu $A = \bigcup_n A_n$, chứng minh rằng $A$ là một tập hợp loại một có độ đo 1, và $\complement A$ là một tập hợp không đáng kể không thuộc loại một.

c) Cho $H = \bigcup_{n=0}^\infty A_{2n+1}$; chứng minh rằng, với mọi khoảng mở $I \subset X$, các giao của $I$ với $H$ và với $\complement H$ đều có độ đo $> 0$. Cho $f$ là một hàm bằng hầu khắp nơi với hàm đặc trưng $\varphi_H$; chứng minh rằng không tồn tại dãy nào $(f_n)$ các hàm liên tục trên $X$, hội tụ tại mọi điểm của $X$, mà giới hạn của nó bằng $f$ (chú ý rằng $f$ nhất thiết gián đoạn tại mọi điểm của $X$, và sử dụng Bài tập 22 của GT, IX, §5).