Exercice 1, § 5

Soit $I$ un intervalle semi-ouvert $]a, b]$ dans $\mathbf{R}$, et soit $F = \mathbf{R}^I$ l’espace de toutes les applications de $I$ dans $\mathbf{R}$, muni de la topologie de la convergence simple ; pour tout $x \in I$, on désigne par $f(x)$ l’application $t \mapsto |x - t|$ de $I$ dans $\mathbf{R}$, élément de $F$; l’application $f$ de $I$ dans $F$ est continue. Montrer que $f$ est dérivable à gauche en tout point de $I$, mais que la dérivée à gauche $f'_g$ est une fonction (à valeurs dans $F$) non mesurable pour la mesure de Lebesgue, bien qu’elle soit limite simple d’une suite de fonctions continues, et bien que pour chaque $t \in I$, la fonction $\operatorname{pr}_t \circ f'_g$ soit une fonction numérique mesurable (remarquer que $f'_g$ n’est continue à droite en aucun point de $I$, et utiliser l’exerc. 1 de Top. gén., chap. IV, § 2).