Bài tập 1, § 5

Cho I là một khoảng nửa mở $]a, b]$ trong $\mathbf{R}$, và cho $F = \mathbf{R}^I$ là không gian của tất cả các ánh xạ từ I vào $\mathbf{R}$, được trang bị tôpô hội tụ từng điểm; với mọi $x \in I$, ký hiệu $f(x)$ là ánh xạ $t \mapsto |x - t|$ từ I vào $\mathbf{R}$, là một phần tử của F; ánh xạ f từ I vào F là liên tục. Hãy chứng minh rằng f khả vi trái tại mọi điểm của I, nhưng đạo hàm trái $f'_l$ là một hàm (với các giá trị trong F) không đo được đối với độ đo Lebesgue, mặc dù nó là giới hạn từng điểm của một dãy các hàm liên tục và, với mỗi $t \in I$, hàm $\operatorname{pr}_t \circ f'_l$ là một hàm số đo được (chú ý rằng $f'_l$ không liên tục phải tại bất kỳ điểm nào của I, và sử dụng Bài tập 1 của GT, IV, §2).