Exercice 11, § 5

Soit $f$ une application mesurable de X dans un espace de Banach F. Pour tout entier rationnel $n$ (positif ou négatif) soit $A_n$ l’ensemble des $x \in X$ tels que $2^n \geq |f(x)| > 2^{n-1}$. Pour que $f$ soit intégrable, il faut et il suffit que la série de terme général $2^n \mu(A_n)$ ($n \in \mathbf{Z}$) soit convergente.