Exercice 12, § 5

Soit $\mu$ une mesure $\geq 0$ sur X. Soit $(f_n)$ une suite de fonctions intégrables dans X, qui converge simplement dans X vers une fonction f.

a) Montrer que si $f$ est intégrable et si on a

pour tout $\varepsilon > 0$ il existe un ensemble intégrable A, une fonction intégrable $g \geq 0$, et un entier $n_0$ tels que, pour tout $n \geq n_0$, on ait et $|f_n(x)| \leq g(x)$ pour tout $x \in A$ (considérer un ensemble intégrable B tel que et que $f$ soit bornée dans B, et appliquer le th. d’Egoroff).

b) On suppose que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un ensemble mesurable A, une fonction intégrable $g \geq 0$ et un entier $n_0$ tels que, pour tout $n \geq n_0$, on ait $\int |f_n| \varphi_{\complement A} \, d\mu \leq \varepsilon$ et $|f_n(x)| \leq g(x)$ pour tout $x \in A$. Montrer que, dans ces conditions, $f$ est intégrable, et que $f_n$ tend vers $f$ dans l’espace $L^1$. Réciproque.

c) On suppose que $F = \mathbf{R}$; montrer par des exemples que les conditions de a) ne sont pas suffisantes, et que les conditions de b) ne sont pas nécessaires, pour que $f$ soit intégrable et que