Bài tập 12, § 5

Cho $\mu$ là một độ đo $\geqslant 0$ trên $X$. Cho $(f_n)$ là một dãy các hàm khả tích trên $X$ hội tụ điểm trên $X$ đến một hàm $f$.

a) Chứng minh rằng nếu $f$ khả tích và nếu

thì với mọi $\varepsilon > 0$ tồn tại một tập hợp khả tích $A$, một hàm khả tích $g \geqslant 0$, và một số nguyên $n_0$ sao cho, với mọi $n \geqslant n_0$,

và $|f_n(x)| \leqslant g(x)$ với mọi $x \in A$ (xét một tập hợp khả tích $B$ sao cho

và sao cho $f$ bị chặn trên $B$, rồi áp dụng định lý Egoroff).

b) Giả sử rằng, với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập hợp đo được $A$, một hàm khả tích $g \geqslant 0$ và một số nguyên $n_0$ sao cho, với mọi $n \geqslant n_0$, ta có $\int |f_n| \varphi_{\mathbf{C}_A} d\mu \leqslant \varepsilon$ và $|f_n(x)| \leqslant g(x)$ với mọi $x \in A$. Chứng minh rằng, dưới các điều kiện này, $f$ là khả tích và $f_n$ hội tụ đến $f$ trong không gian $L^1$. Đảo lại.

c) Giả sử rằng $F = \mathbf{R}$; hãy chỉ ra bằng các ví dụ rằng các điều kiện của a) không đủ, và các điều kiện của b) không cần thiết, để $f$ khả tích và để $\int f \, d\mu = \lim_{n \to \infty} \int f_n \, d\mu$ được thỏa mãn.