Exercice 18, § 5

Soit $X$ un espace localement compact tel que, dans $X$, l’adhérence de tout ensemble ouvert relativement compact soit encore un ensemble ouvert (espace stonien ; cf. chap. II, § 1, exerc. 13); soit $\mu$ une mesure positive sur $X$ de support identique à $X$ et telle que toute fonction numérique intégrable et bornée dans $X$ soit équivalente à une fonction continue finie ($§ 4$, exerc. 10).

a) Montrer que, dans $X$, tout ensemble rare $N$ est localement négligeable (pour tout ensemble compact $K$, considérer la fonction continue équivalente à $\varphi_{K \cap \bar{N}}$).

b) Soit $f$ une fonction numérique (finie ou non) mesurable dans $X$, et soit $g$ la plus grande des fonctions semi-continues inférieurement dans $X$ et $\leq f$. Montrer que $f$ et $g$ sont égales localement presque partout (remarquer que si la restriction de $f$ à un ensemble compact $K$ est continue, $f$ et $g$ sont égales dans l’intérieur de $K$, et utiliser a)).

c) Déduire de b) que dans $X$ tout ensemble localement négligeable pour $\mu$ est un ensemble rare. En particulier tout ensemble maigre dans $X$ est rare.