Bài tập 18, § 5

Cho $X$ là một không gian compact địa phương sao cho, trong $X$, bao đóng của mọi tập mở tương đối compact lại là một tập mở (một không gian Stone; xem Ch. II, §1, Bài tập 13); cho $\mu$ là một độ đo dương trên $X$ có giá trùng với $X$ và sao cho mọi hàm số tích phân bị chặn trên $X$ là tương đương với một hàm liên tục hữu hạn (§4, Bài tập 10).

a) Chứng minh rằng, trong $X$, mọi tập hợp không trù mật khắp nơi $N$ đều không đáng kể địa phương (với mọi tập compact $K$, xét hàm liên tục tương đương với $\varphi_{K \cap \overline{N}}$).

b) Cho $f$ là một hàm số đo được (hữu hạn hoặc không) trên $X$, và cho $g$ là hàm nửa liên tục dưới lớn nhất trên $X$ thỏa mãn $\leq f$. Chứng minh rằng $f$ và $g$ bằng nhau hầu khắp nơi địa phương (chú ý rằng nếu hạn chế của $f$ lên một tập compact $K$ là liên tục thì $f$ và $g$ bằng nhau trên phần trong của $K$, và sử dụng a)).

c) Suy ra từ b) rằng trong $X$, mọi tập hợp không đáng kể địa phương đối với $\mu$ là một tập hợp không trù mật khắp nơi. Đặc biệt, mọi tập hợp loại thứ nhất trong $X$ là không trù mật khắp nơi.