Exercice 20, § 5

Soient $X$ un espace compact, $\mu$ une mesure positive sur $X$, $(f_n)$ une suite de fonctions numériques $\mu$-mesurables. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) il existe une suite $(f_{n_k})$ extraite de $(f_n)$ et tendant vers 0 presque partout dans $X$;

(ii) il existe une suite $(\lambda_n)$ de nombres réels finis telle que

et que la série de terme général $\lambda_n f_n(x)$ converge presque partout dans $X$.

(iii) il existe une suite $(\lambda_n)$ de nombres réels finis telle que

et que la série de terme général $\lambda_n f_n(x)$ soit presque partout absolument convergente dans $X$.

(Pour voir que (i) entraîne (ii) et (iii), utiliser le th. d’Egoroff. Pour voir que (iii) entraîne (i), montrer que (iii) implique l’existence d’une suite croissante $(A_k)$ de parties mesurables de $X$ et d’une suite $(f_{n_k})$ extraite de $(f_n)$, telles que $\mu(A_k)$ tende vers $\mu(X)$, et que $\int |f_{n_k}\varphi_{A_k}| d\mu$ tende vers 0).