Bài tập 20, § 5

Cho $X$ là một không gian compact, $\mu$ là một độ đo dương trên $X$, và $(f_n)$ là một dãy các hàm số đo được theo $\mu$ nhận giá trị số. Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương:

(i) tồn tại một dãy con $(f_{n_k})$ của $(f_n)$ hội tụ về 0 hầu khắp nơi trong $X$; (ii) tồn tại một dãy $(\lambda_n)$ các số thực hữu hạn sao cho

và sao cho chuỗi có số hạng tổng quát $\lambda_n f_n(x)$ hội tụ hầu khắp nơi trong $X$;

(iii) tồn tại một dãy $(\lambda_n)$ các số thực hữu hạn sao cho

và sao cho chuỗi có số hạng tổng quát $\lambda_n f_n(x)$ hội tụ tuyệt đối hầu khắp nơi trong $X$.

(Để thấy rằng (i) suy ra (ii) và (iii), hãy sử dụng định lý Egoroff. Để thấy rằng (iii) suy ra (i), hãy chứng minh rằng (iii) kéo theo sự tồn tại của một dãy tăng $(A_k)$ các tập con đo được của $X$ và một dãy con $(f_{n_k})$ của $(f_n)$, sao cho $\mu(A_k)$ tiến tới $\mu(X)$ và $\int |f_{n_k} \varphi_{A_k}| d\mu$ tiến tới 0.)