Exercice 21, § 5

Soient $X$ un espace localement compact, $\mu$ une mesure positive sur $X$, $(U_\alpha)_{\alpha \in A}$ un recouvrement ouvert de $X$. Pour tout $\alpha \in A$, soit $f_\alpha$ une application de $U_\alpha$ dans un ensemble $G$. On suppose que pour tout couple d’indices $\alpha, \beta$, l’ensemble des points $x \in U_\alpha \cap U_\beta$ tels que $f_\alpha(x) \neq f_\beta(x)$ soit localement $\mu$-négligeable. Montrer qu’il existe une application $f$ de $X$ dans $G$ telle que, pour tout $\alpha \in A$, l’ensemble des $x \in U_\alpha$ tels que $f(x) \neq f_\alpha(x)$ soit localement $\mu$-négligeable. (Considérer d’abord le cas où $X$ est compact, en recouvrant $X$ par un nombre fini d’ensembles $U_\alpha$; passer au cas général à l’aide de la prop. 14 du n° 9).