Exercice 30, § 5

Soit $\Phi(t, u, v)$ une fonction numérique finie et continue pour $0 \leq t \leq 1,\ u \geq 0,\ v \geq 0$. Pour toute fonction numérique $f \geq 0$ définie dans $I = \{0, 1\}$, mesurable pour la mesure de Lebesgue, on désigne par $f^*$ le réarrangement décroissant de $f$ (exerc. 29). Afin que, pour tout couple de fonctions $f \geq 0,\ g \geq 0$, mesurables (pour la mesure de Lebesgue) et bornées dans I, on ait

il faut et il suffit que la fonction $\Phi$ vérifie les trois conditions suivantes:

(2) $\Phi(t, u + h, v + h) - \Phi(t, u + h, v) - \Phi(t, u, v + h) + \Phi(t, u, v) \geq 0$

quels que soient $t \in I,\ u \geq 0,\ v \geq 0$ et $h \geq 0$;

(3) $\int_0^\delta (\Phi(a + \delta + t, u, v) - \Phi(a + \delta + t, u + h, v)$

(4) $\int_0^\delta (\Phi(a \pm \delta + t, u, v) - \Phi(a + \delta + t, u, v + h)$

quels que soient $a, h, \delta$ tels que $0 \leq a \leq 1 - 2\delta, h \geq 0$.

(Pour prouver que (3) et (4) sont nécessaires, prendre pour $f$ et $g$ des fonctions en escalier convenables; déduire ensuite (2) de (3) et (4). Pour prouver que les conditions sont suffisantes, déduire d’abord de (2), en utilisant la continuité de $\Phi$, que l’on a

(5) $\Phi(t, u + h, v + k) - \Phi(t, u + h, v) - \Phi(t, u, v + k) + \Phi(t, u, v) \geq 0$

quels que soient $t \in I,\ u \geq 0,\ v \geq 0,\ h \geq 0,\ k \geq 0$. Utilisant ensuite (3) et (4), prouver (1) lorsque $f$ et $g$ sont des fonctions en escalier dont les points de discontinuité sont de la forme $r/n$ ($0 \leq r \leq n$) dans I, en comparant successivement les intégrales

et

où $f_i$ et $g_i$ ne diffèrent de $f_j$ et $g_j$ que dans deux intervalles consécutifs $[ (r-1)/n, r/n ]$ et $[ r/n, (r+1)/n ]$. Passer enfin à la limite de façon convenable pour prouver (1) dans le cas général).

Si $\Phi$ est deux fois continûment différentiable, les conditions (2), (3) et (4) équivalent respectivement à

Généraliser à des fonctions $\Phi(t, u_1, \ldots, u_m)$ d’un nombre quelconque de variables.