Bài tập 30, § 5

Cho $\Phi(t,u,v)$ là một hàm số hữu hạn và liên tục đối với $0 \leqslant t \leqslant 1$, $u \geqslant 0$, $v \geqslant 0$. Với mọi hàm số $f \geqslant 0$ xác định trên $I = [0,1]$, đo được đối với độ đo Lebesgue, $f^*$ ký hiệu sự sắp xếp giảm của f (Bài tập 29). Để cho, với mọi cặp hàm số $f \geqslant 0$, $g \geqslant 0$, đo được (đối với độ đo Lebesgue) và bị chặn trên I, ta có

điều kiện cần và đủ là hàm số $\Phi$ thỏa mãn ba điều kiện sau:

(2)

với mọi $t \in I$, $u \geqslant 0$, $v \geqslant 0$ và $h \geqslant 0$;

(3)

và

với mọi $a, h, \delta$ sao cho $0 \leq a \leq 1 - 2\delta ,\ h \geq 0$.

(Để chứng minh rằng (3) và (4) là cần thiết, lấy $f$ và $g$ là các hàm bậc thang thích hợp; sau đó suy ra (2) từ (3) và (4). Để chứng minh rằng các điều kiện là đủ, trước hết suy ra từ (2), sử dụng tính liên tục của $\Phi$, rằng

với mọi $t \in I,\ u \geq 0,\ v \geq 0,\ h \geq 0,\ k \geq 0$. Sau đó sử dụng (3) và (4), chứng minh (1) khi $f$ và $g$ là các hàm bậc thang mà các điểm gián đoạn trong $I$ có dạng $r/n$ ($0 \leq r \leq n$), bằng cách lần lượt so sánh các tích phân

và

trong đó $f_i$ và $g_i$ chỉ khác $f_j$ và $g_j$ trên hai khoảng liên tiếp $[ (r-1)/n, r/n ]$ và $[ r/n, (r+1)/n ]$. Cuối cùng, chuyển qua giới hạn theo một cách thích hợp để chứng minh (1) trong trường hợp tổng quát.)

Nếu $\Phi$ khả vi liên tục hai lần, các điều kiện (2), (3) và (4) lần lượt tương đương với

Tổng quát hóa cho các hàm $\Phi(t, u_1, \ldots, u_m)$ của một số biến bất kỳ.