Exercice 6, § 5

Pour tout entier $n \geq 1$, soit $f_n(x) = [2^n x] - 2[2^{n-1} x]$. Dans l’espace compact des applications de $\mathbf{R}$ dans $\{0, 1\}$ (muni de la topologie de la convergence simple), soit f une valeur d’adhérence de la suite $(f_n)$. Montrer que, pour tout nombre dyadique r, on a $f(r + x) = f(x)$ pour tout $x \in \mathbf{R}$, et $f(r - x) = 1 - f(x)$ pour tout $x \in \mathbf{R}$ distinct d’un nombre dyadique. En déduire que, pour la mesure de Lebesgue $\mu$, f n’est pas mesurable. (Raisonner par l’absurde; soit A l’ensemble des $x \in \{0, 1\}$ tels que $f(x) = 1$, et supposons que A soit mesurable, et $\mu(A) = \alpha > 0$; montrer qu’il existe un ensemble I, réunion finie d’intervalles ouverts contenus dans $]0, 1[$, tel que $\mu(I \cap C_A) \leq \alpha/4$ et $\mu(A \cap C_I) \leq \alpha/4$; en considérant les intervalles contenus dans I et de la forme $]k/2^n, (k+1)/2^n[$, montrer qu’on obtient une contradiction avec la relation $f(r - x) = 1 - f(x)$ pour r dyadique et x non dyadique).