Bài tập 6, § 5

Với mọi số nguyên $n \geqslant 1$, đặt $f_n(x) = [2^n x] - 2[2^{n-1} x]$. Trong không gian compact của các ánh xạ từ $\mathbf{R}$ vào $\{0, 1\}$ (được trang bị tôpô hội tụ điểm), cho $f$ là một điểm tụ của dãy $(f_n)$. Chứng minh rằng, với mọi số dyadic $r$, ta có $f(r + x) = f(x)$ với mọi $x \in \mathbf{R}$ và $f(r - x) = 1 - f(x)$ với mọi $x \in \mathbf{R}$ khác một số dyadic. Từ đó, suy ra rằng đối với đo Lebesgue $\mu$, $f$ không đo được. (Lập luận bằng phản chứng; gọi $A$ là tập hợp các $x \in [0, 1]$ sao cho $f(x) = 1$, và giả sử rằng $A$ đo được và $\mu(A) = \alpha > 0$; chứng minh rằng tồn tại một tập hợp $I$, là hợp hữu hạn các khoảng mở được chứa trong $]0, 1[$, sao cho $\mu(I \cap \complement A) \leqslant \alpha/4$ và $\mu(A \cap \complement I) \leqslant \alpha/4$; bằng cách xét các khoảng được chứa trong $I$ và có dạng $]k/2^n, (k+1)/2^n[$, chứng minh rằng ta thu được một mâu thuẫn với quan hệ $f(r - x) = 1 - f(x)$ với $r$ dyadic và $x$ không dyadic.)