Exercice 11, § 6

Soit $g$ une fonction numérique $\geq 0$ appartenant à $\mathscr{L}^p$ ($1 \leq p < +\infty$). On désigne par $I_g$ l’ensemble des fonctions $f \in \mathscr{L}_F^p$ telles que $|f| \leq g$.

a) Montrer que sur $I_g$, la topologie de la convergence en moyenne d’ordre $p$ est identique à la topologie de la convergence en mesure.

b) Si $p \leq q < r$ (resp. $q < r \leq p$), montrer que sur l’ensemble $I_g \cap \mathscr{L}_F^q \cap \mathscr{L}_F^r$ la topologie de la convergence en moyenne d’ordre $q$ est moins fine (resp. plus fine) que la topologie de la convergence en moyenne d’ordre $r$ (pour deux fonctions $f, f_0$ appartenant à cet ensemble, écrire $|f - f_0|^q \leq |f - f_0|^s (2g)^{q-s}$ et utiliser l’inégalité de Hölder, en choisissant convenablement $s$ et le couple d’exposants conjugués). Montrer par des exemples que ces topologies peuvent être distinctes (cf. exerc. 8).

c) Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $X = ]0, +\infty[$; la fonction $g(x) = (x (\log^2 x + 1))^{-1/p}$ appartient à $\mathscr{L}^p$, mais à aucun $\mathscr{L}^q$ pour $q \neq p$. Montrer que si $q \neq p$, la topologie de la convergence en moyenne d’ordre $q$ sur l’ensemble $I_g \cap \mathscr{L}^q$ est distincte de la topologie de la convergence en mesure.