Bài tập 11, § 6

Cho $g$ là một hàm số số học $\geqslant 0$ thuộc $\mathscr{L}^p$ ($1 \leqslant p < +\infty$). Ký hiệu $I_g$ là tập hợp các hàm $f \in \mathscr{L}_F^p$ sao cho $|f| \leqslant g$.

a) Chứng minh rằng trên $I_g$, tôpô của sự hội tụ theo trung bình cấp $p$ là đồng nhất với tôpô của sự hội tụ theo độ đo.

b) Nếu $p \leqslant q < r$ (tương ứng $q < r \leqslant p$), chứng minh rằng trên tập hợp $I_g \cap \mathscr{L}_F^q \cap \mathscr{L}_F^r$ tôpô của sự hội tụ theo trung bình cấp $q$ là thô hơn (tương ứng mịn hơn) tôpô của sự hội tụ theo trung bình cấp $r$ (đối với hai hàm $f, f_0$ thuộc tập hợp này, hãy viết $|f - f_0|^q \leqslant |f - f_0|^s (2g)^{q-s}$ và sử dụng bất đẳng thức Hölder, bằng cách chọn thích hợp $s$ và cặp số mũ liên hợp). Chứng minh bằng các ví dụ rằng các tôpô này có thể phân biệt được (xem Bài tập 8).

c) Cho $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $X = ]0, +\infty[$; hàm

thuộc $\mathscr{L}^p$, nhưng không thuộc bất kỳ $\mathscr{L}^q$ nào với $q \neq p$. Chứng minh rằng nếu $q \neq p$, tôpô của sự hội tụ theo trung bình cấp $q$ trên tập hợp $I_g \cap \mathscr{L}^q$ là phân biệt với tôpô của sự hội tụ theo độ đo.