Exercice 12, § 6

Soit $h$ une fonction numérique $\geq 0$ telle que $h$ et $h^2$ soient intégrables ; soit $I_h$ l’ensemble des fonctions numériques mesurables $f$ telles que $|f| \leq h$. Montrer que l’application $(f, g) \mapsto fg$ de $I_h \times I_h$ dans $\mathscr{L}^1$ est continue pour la topologie de la convergence en moyenne (sur $I_h$ et sur $\mathscr{L}^1$).