Bài tập 12, § 6

Cho $h$ là một hàm số $\geqslant 0$ sao cho $h$ và $h^2$ là khả tích; gọi $I_h$ là tập hợp các hàm số thực đo được $f$ sao cho $|f| \leqslant h$. Hãy chứng minh rằng ánh xạ $(f, g) \mapsto fg$ từ $I_h \times I_h$ vào $\mathscr{L}^1$ là liên tục đối với tôpô hội tụ theo trung bình (trên $I_h$ và trên $\mathscr{L}^1$).