Exercice 17, § 6

Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $X = [0, 1]$. On définit la suite $(f_n)$ de fonctions en escalier dans $X$ par les conditions suivantes : $f_0$ est la constante 1 ; pour tout entier $n > 0$, soit $m$ le plus grand entier tel que $2^m \leq n$, et soit $n = 2^m + k ; f_n$ est la fonction égale à $2^{m/2}$ dans l’intervalle $\left[ \frac{2k}{2^{m+1}}, \frac{2k+1}{2^{m+1}} \right]$, à $-2^{m/2}$ dans l’intervalle $\left[ \frac{2k+1}{2^{m+1}}, \frac{2k+2}{2^{m+1}} \right]$ et à 0 aux autres points de $X$.

a) Montrer que la suite $(f_n)$ est orthonormale (« système orthonormal de Haar »).

b) Soit $V_n$ le sous-espace vectoriel de $\mathscr{L}_c^2$ (sur $\mathbf{C}$) engendré par les $f_k$ d’indices $k \leq n$. Montrer qu’il existe une partition de $[0, 1[$ en $n + 1$ intervalles semi-ouverts tels que, dans chacun de ces intervalles, toute fonction appartenant à $V_n$ soit constante. En déduire qu’inversement, pour toute fonction $g$ constante dans chacun de ces $n + 1$ intervalles, il existe une fonction de $V_n$ qui est égale à $g$ dans $[0, 1[$ (remarquer que $V_n$ est de dimension $n + 1$).

c) Soit $g$ une fonction quelconque de $\mathscr{L}_c^2$; déduire de b) que si $h$ est l’unique fonction de $V_n$ pour laquelle $N_2(g - h)$ est minimum, dans tout intervalle $[\alpha, \beta[$ où $h$ est constante, on a $h(x) = \frac{1}{\beta - \alpha} \int_\alpha^\beta g(t) \, dt$.

d) Montrer que pour toute fonction $g$ à valeurs complexes, définie et continue dans $X$, la série de terme général $(g|f_n)f_n(x)$ est uniformément convergente dans $[0, 1[$ et a pour somme $g(x)$ (utiliser c)). En déduire que la suite $(f_n)$ est totale.