Bài tập 17, § 6

Cho $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $X = [0, 1]$. Ta định nghĩa dãy $(f_n)$ các hàm bậc thang trên $X$ bởi các điều kiện sau: $f_0$ là hằng 1; với mọi số nguyên $n > 0$, gọi $m$ là số nguyên lớn nhất sao cho $2^m \leq n$, và viết $n = 2^m + k$; $f_n$ là hàm bằng $2^{m/2}$ trên khoảng $[\frac{2k}{2^{m+1}}, \frac{2k+1}{2^{m+1}}]$, bằng $-2^{m/2}$ trên khoảng $[\frac{2k+1}{2^{m+1}}, \frac{2k+2}{2^{m+1}}]$, và bằng 0 tại các điểm khác của $X$.

a) Chứng minh rằng dãy $(f_n)$ là trực chuẩn (hệ trực chuẩn Haar).

b) Cho $V_n$ là không gian con tuyến tính của $\mathscr{L}_C^2$ (trên $\mathbf{C}$) sinh bởi các $f_k$ với các chỉ số $k \leq n$. Chứng minh rằng tồn tại một phân hoạch của $[0, 1[$ thành $n+1$ khoảng nửa mở sao cho, trong mỗi khoảng này, mọi hàm thuộc $V_n$ đều là hằng. Suy ra từ đó rằng, ngược lại, với mọi hàm $g$ hằng trên mỗi trong các khoảng $n+1$ này, tồn tại một hàm trong $V_n$ bằng $g$ trên $[0, 1[$ (chú ý rằng $V_n$ có chiều $n+1$).

c) Cho $g$ là một hàm bất kỳ trong $\mathscr{L}_C^2$; suy ra từ b) rằng nếu $h$ là hàm duy nhất trong $V_n$ sao cho $N_2(g-h)$ là cực tiểu, thì, trong mỗi khoảng $[\alpha, \beta[$ nơi $h$ là hằng, ta có $h(x) = \frac{1}{\beta-\alpha} \int_\alpha^\beta g(t)\, dt$.

d) Chứng minh rằng với mọi hàm phức, được xác định và liên tục trên $X$, chuỗi có số hạng tổng quát $(g|f_n)f_n(x)$ hội tụ đều trên $[0, 1[$ và có tổng là $g(x)$ (sử dụng c)). Suy ra từ đó rằng dãy $(f_n)$ là toàn.