Exercice 19, § 6

Soit $f$ une fonction numérique $\geqslant 0$ définie dans l’espace $\mathbf{R}_+^* = ]0, +\infty[$ et de puissance $p$-ème intégrable pour la mesure de Lebesgue ($1 < p < +\infty$). On pose $F(x) = \int_0^x f(t)\,dt$ pour tout $x > 0$.

a) Montrer que, pour $x$ tendant vers $0$ ou vers $+\infty$, on a

(utiliser l’inégalité de Hölder).

b) Montrer que la fonction $F(x)/x$ est de puissance $p$-ème intégrable dans $\mathbf{R}_+^*$ et que l’on a (« inégalité de Hardy »)

(Considérer d’abord le cas où $f \in \mathscr{K}(\mathbf{R}_+^*)$; pour tout intervalle compact $[a, b] \subset \mathbf{R}_+^*$, majorer l’intégrale en intégrant par parties et utilisant l’inégalité de Hölder).