Bài tập 19, § 6

Cho $f$ là một hàm số số học $\geq 0$ xác định trong không gian $\mathbf{R}_+^* = ]0, +\infty[$ và khả tích theo lũy thừa bậc $p$ đối với độ đo Lebesgue ($1 < p < +\infty$). Đặt $F(x) = \int_0^x f(t) \, dt$ với mọi $x > 0$.

a) Chứng minh rằng khi $x$ tiến tới 0 hoặc tới $+\infty$, $F(x) = o(x^{(p-1)/p})$ (sử dụng bất đẳng thức Hölder).

b) Chứng minh rằng hàm $F(x)/x$ khả tích theo lũy thừa bậc $p$ trong $\mathbf{R}_+^*$ và rằng

(bất đẳng thức Hardy). (Trước hết xét trường hợp $f \in \mathscr{K}(\mathbf{R}_+^*)$; với mọi khoảng compact $[a, b] \subset \mathbf{R}_+^*$, hãy thu được một cận trên cho nguyên

bằng cách lấy nguyên hàm từng phần và sử dụng bất đẳng thức Hölder.)