Exercice 2, § 6

Soit $D$ un ensemble convexe fermé dans un espace de Banach $F$, d’intérieur non vide, et soit $f$ une fonction mesurable à valeurs dans $F$, telle que $f(X) \subset D$. Soit $g$ une fonction intégrable $\geq 0$, non négligeable et telle que $fg$ soit intégrable. On suppose que le point

soit point frontière de $D$; montrer que si $V$ est l’intersection de tous les hyperplans d’appui fermés de $D$ au point $c$, on a $f(x) \in V \cap D$ presque partout dans l’ensemble des points $x$ tels que $g(x) > 0$ (se ramener au cas où $F$ est un espace de type dénombrable (c’est-à-dire contenant un ensemble dénombrable partout dense) en utilisant le th. 4 du § 5; remarquer alors que $V$ est l’intersection d’une famille dénombrable d’hyperplans d’appui de $D$ au point $c$).

Montrer que si $F$ est de dimension finie, et si $A$ est la facette du point $c$ par rapport à $D$ (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 7, exerc. 3), l’hypothèse entraîne que $f(x) \in A$ presque partout dans l’ensemble des points $x$ tels que $g(x) > 0$ (raisonner par récurrence sur la dimension de $F$).

EXERCICES