Bài tập 2, § 6

Cho $D$ là một tập hợp lồi đóng trong một không gian Banach $F$, có phần trong khác rỗng, và cho $f$ là một hàm đo được nhận các giá trị trong $F$, sao cho $f(X) \subset D$. Cho $g$ là một hàm khả tích $\geq 0$, không tầm thường, và sao cho $fg$ là khả tích. Giả sử rằng điểm

là một điểm biên của $D$; hãy chứng minh rằng nếu $V$ là giao của tất cả các siêu phẳng tựa đóng của $D$ tại điểm $c$, thì $f(x) \in V \cap D$ hầu khắp nơi trong tập hợp các điểm $x$ sao cho $g(x) > 0$ (rút gọn về trường hợp $F$ là một không gian tách được (nghĩa là chứa một tập hợp trù mật đếm được), sử dụng Định lý 4 của §5; sau đó chú ý rằng $V$ là giao của một họ đếm được các siêu phẳng tựa của $D$ tại điểm $c$).

Hãy chứng minh rằng nếu $F$ là hữu hạn chiều và nếu $A$ là mặt của điểm $c$ đối với $D$ (TVS, II, §7, Exer.