Exercice 8, § 6

Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue sur l’intervalle $X = (0, +\infty[$.

a) Soient $k > 1$, $h < k$ deux nombres réels. Montrer que, pour tout $n \geqslant 1$, et tout nombre $p$ tel que $1 \leqslant p \leqslant +\infty$, les fonctions

appartiennent à $\mathscr{L}^p$; montrer que $N_p(f_n)$ tend vers $0$ avec $1/n$ pour $p > 1/(k - h)$, mais que la suite des $N_p(f_n)$ n’est pas bornée pour $p < 1/(k - h)$.

b) Soit $k$ un nombre $< 1$; montrer que pour tout $n > 1$ et tout nombre $p$ tel que $1 \leqslant p \leqslant +\infty$, les fonctions $g_n(x) = n^k e^{-nx}$ appartiennent à $\mathscr{L}^p$; montrer que $N_p(g_n)$ tend vers $0$ avec $1/n$ pour $p < 1/k$, mais que la suite des $N_p(g_n)$ n’est pas bornée pour $p > 1/k$.

Déduire de a) et b) que, si $1 \leqslant p < q \leqslant +\infty$, les topologies induites sur $\mathscr{L}^p \cap \mathscr{L}^q$ par celles de $\mathscr{L}^p$ et $\mathscr{L}^q$ ne sont pas comparables.

c) Si $\mu$ est la mesure de Lebesgue sur l’intervalle $[0, 1]$, montrer de même que si $p < q$, la topologie de la convergence en moyenne d’ordre $q$ est strictement plus fine que la topologie de la convergence en moyenne d’ordre $p$ (sur $\mathscr{L}^q$).