Bài tập 8, § 6

Cho $\mu$ là độ đo Lebesgue trên khoảng $X = [0, +\infty[$. a) Cho $k > 1$, $h < k$ là hai số thực. Chứng minh rằng với mọi $n \geq 1$, và mọi số $p$ sao cho $1 \leq p \leq +\infty$, các hàm $f_n(x) = n^h / (x + n)^k$ thuộc $\mathscr{L}^p$; chứng minh rằng $N_p(f_n)$ tiến tới 0 với $1/n$ khi $p > 1/(k - h)$, nhưng dãy các $N_p(f_n)$ không bị chặn khi $p < 1/(k - h)$. b) Cho $k$ là một số $< 1$; chứng minh rằng với mọi $n > 1$ và mọi số $p$ sao cho $1 \leq p \leq +\infty$, các hàm $g_n(x) = n^k e^{-nx}$ thuộc $\mathscr{L}^p$; chứng minh rằng $N_p(g_n)$ tiến tới 0 với $1/n$ khi $p < 1/k$, nhưng dãy các $N_p(g_n)$ không bị chặn khi $p > 1/k$. Suy ra từ a) và b) rằng nếu $1 \leq p < q \leq +\infty$, các tôpô cảm sinh trên $\mathscr{L}^p \cap \mathscr{L}^q$ bởi các tôpô của $\mathscr{L}^p$ và $\mathscr{L}^q$ là không so sánh được. c) Nếu $\mu$ là độ đo Lebesgue trên khoảng $[0, 1]$, chứng minh tương tự rằng nếu $p < q$, tôpô của sự hội tụ trung bình cấp $q$ là thực sự mịn hơn tôpô của sự hội tụ trung bình cấp $p$ (trên $\mathscr{L}^q$).