Exercice 9, § 6

Soient $X$ un espace discret infini, $\mu$ une mesure sur $X$ telle que le support de $\mu$ soit égal à $X$.

EXERCICES

a) Montrer que pour $1 \leq p \leq +\infty$, l’espace $\mathscr{L}^p(\mu)$ est un espace vectoriel topologique isomorphe à l’espace $\mathscr{L}^p(\mu_0)$, où $\mu_0$ est la mesure sur $X$ définie par la masse $+1$ en chaque point de $X$.

b) Montrer que si $1 \leq p < q \leq +\infty$, la topologie de la convergence en moyenne d’ordre $p$ est strictement plus fine que la topologie de la convergence en moyenne d’ordre $q$ (sur $\mathscr{L}^p$).