Bài tập 9, § 6

Cho $X$ là một không gian rời rạc vô hạn, $\mu$ là một độ đo trên $X$ sao cho giá của $\mu$ bằng $X$. a) Chứng minh rằng với $1 \leq p \leq +\infty$, không gian $\mathscr{L}^p(\mu)$ là một không gian vectơ tôpô đẳng cấu với không gian $\mathscr{L}^p(\mu_0)$, trong đó $\mu_0$ là độ đo trên $X$ được xác định bởi khối lượng +1 tại mỗi điểm của $X$. b) Chứng minh rằng nếu $1 \leq p < q \leq +\infty$, tôpô của sự hội tụ theo trung bình cấp $p$ là thực sự mịn hơn tôpô của sự hội tụ theo trung bình cấp $q$ (trên $\mathscr{L}^p$).