Exercice 5, Annexe 0

Soient $E$ un espace vectoriel réel, $(\lambda_i)_{i \in I}$ une famille sommable de nombres positifs et $(y_i)_{i \in I}$ une famille de formes linéaires sur $E$. Pour tout $x \in E$, on pose $H(x) = \sum_{i \in I} \langle x, y_i \rangle^2$ et $Q(x) = \sum_{i \in I} \lambda_i \langle x, y_i \rangle^2$; on suppose que $H(x)$ est fini pour tout $x \in E$. Montrer que $Q(x)$ est fini pour tout $x \in E$, que $Q$ et $H$ sont des formes quadratiques positives sur $E$, et que l’on a $\mathrm{Tr}(Q/H) \leq \sum_{i \in I} \lambda_i$. (Poser $u(x) = (\langle x, y_i \rangle)_{i \in I}$ et appliquer l’exerc. 3 à l’application linéaire $u$ de $E$ dans $l^2(I)$.)