Bài tập 5, Phụ lục 0

Cho E là một không gian vectơ thực, $(\lambda_i)_{i \in I}$ là một họ khả tổng của các số dương, và $(y_i)_{i \in I}$ là một họ các dạng tuyến tính trên E. Với mọi $x \in E$, đặt $H(x) = \sum_{i \in I} \langle x, y_i \rangle^2$ và $Q(x) = \sum_{i \in I} \lambda_i \langle x, y_i \rangle^2$; giả sử rằng $H(x)$ là hữu hạn với mọi $x \in E$. Chứng minh rằng $Q(x)$ là hữu hạn với mọi $x \in E$, rằng Q và H là các dạng toàn phương dương trên E, và rằng $\operatorname{Tr}(Q/H) \leq \sum_{i \in I} \lambda_i$. (Đặt $u(x) = (\langle x, y_i \rangle)_{i \in I}$ và áp dụng Bài tập 3 cho ánh xạ tuyến tính $u$ từ E vào $l_2(I)$.)