Exercice 12, § 3

Soient X un ensemble, $\mathscr{U}$ une partie de $\mathfrak{P}(X)$ et m la fonction caractéristique de $\mathscr{U}$. Pour que m soit une jauge, il faut et il suffit que $\mathscr{U}$ soit un ultrafiltre et que l’intersection de toute partie dénombrable de $\mathscr{U}$ appartienne à $\mathscr{U}$. Dans ces conditions, on dit que $\mathscr{U}$ est un ultrafiltre d’Ulam sur X. Supposons qu’il en soit ainsi, et que $(H_i)_{i \in I}$ soit une famille d’éléments de $\mathscr{U}$ telle que Card(I) soit ulamien; montrer que $\bigcap_{i \in I} H_i$ appartient à $\mathscr{U}$.