Exercice 3, § 3

Soient $E$ un ensemble et $\Sigma$ une tribu de parties de $E$. On note $\mathscr{M}$ l'ensemble des applications $f$ de $E$ dans $\overline{\mathbf{R}}_+$ telles que l'ensemble des $x \in E$ pour lesquels $f(x) \geq c$ appartienne à $\Sigma$ pour tout $c \in \overline{\mathbf{R}}_+$. a) Montrer que la limite supérieure et la limite inférieure de toute suite d'éléments de $\mathscr{M}$ appartient à $\mathscr{M}$ (étudier d'abord les suites croissantes ou décroissantes). b) Montrer que $\Sigma$ est l'ensemble des parties de $E$ dont la fonction caractéristique appartient à $\mathscr{M}$.

c) Soit $f \in \mathscr{M}$. Pour toute partie borélienne B de $\overline{\mathbf{R}}_+$, l’ensemble $f^{-1}(B)$ appartient à $\mathfrak{T}$ (l’ensemble des parties B de $\overline{\mathbf{R}}_+$ telles que $f^{-1}(B) \in \mathfrak{T}$ est une tribu, contenant les intervalles $[c, +\infty]$).

d) Soient $f_1, \ldots, f_n$ dans $\mathscr{M}$ et soit $\varphi$ une application borélienne de $(\overline{\mathbf{R}}_+)^n$ dans $\overline{\mathbf{R}}_+$; montrer que l’application $x \mapsto \varphi(f_1(x), \ldots, f_n(x))$ de E dans $\overline{\mathbf{R}}_+$ appartient à $\mathscr{M}$. En déduire que $\mathscr{M}$ contient la somme de toute série d’éléments de $\mathscr{M}$.

e) Montrer que $\mathscr{M}$ est l’ensemble des limites de suites croissantes de fonctions positives finies $\mathfrak{T}$-étagées.