Bài tập 3, § 3

Cho E là một tập hợp và $\mathscr{T}$ là một σ-đại số các tập con của E. Ký hiệu $\mathscr{M}$ là tập hợp các ánh xạ f từ E vào $\overline{\mathbf{R}}_+$ sao cho tập hợp các $x \in E$ mà $f(x) \geq c$ thuộc $\mathscr{T}$ với mọi $c \in \overline{\mathbf{R}}_+$.

a) Chứng minh rằng giới hạn trên và giới hạn dưới của mọi dãy các phần tử của $\mathscr{M}$ đều thuộc $\mathscr{M}$ (trước hết xét các dãy tăng hoặc giảm).

b) Chứng minh rằng $\mathscr{T}$ là tập hợp các tập con của E mà hàm đặc số của chúng thuộc $\mathscr{M}$.

c) Cho $f \in \mathscr{M}$. Với mọi tập con Borel B của $\overline{\mathbf{R}}_+$, tập hợp $f^{-1}(B)$ thuộc $\mathscr{T}$ (tập hợp các tập con B của $\overline{\mathbf{R}}_+$ sao cho $f^{-1}(B) \in \mathscr{T}$ là một σ-đại số, chứa các khoảng $[c, +\infty]$).

d) Cho $f_1, \ldots, f_n$ thuộc $\mathscr{M}$ và cho $\varphi$ là một ánh xạ Borel từ $(\overline{\mathbf{R}}_+)^n$ vào $\overline{\mathbf{R}}_+$; chứng minh rằng ánh xạ $x \mapsto \varphi(f_1(x), \ldots, f_n(x))$ từ E vào $\overline{\mathbf{R}}_+$ thuộc $\mathscr{M}$. Suy ra từ đó rằng $\mathscr{M}$ chứa tổng của mọi chuỗi các phần tử của $\mathscr{M}$.

e) Chứng minh rằng $\mathscr{M}$ là tập hợp các giới hạn của các dãy tăng gồm các hàm bậc thang $\mathscr{T}$ hữu hạn dương.