Exercice 7, § 3

Soient T un espace topologique, $\Phi$ un clan de parties de T et $m$ une application additive relativement bornée (cf. exerc. 1) de $\Phi$ dans $\mathbf{R}$. On suppose qu’il existe un recouvrement ouvert $\mathscr{U}$ de T tel que $\Phi$ se compose des parties boréliennes de T contenues dans la réunion d’un nombre fini d’éléments de $\mathscr{U}$. De plus, on suppose que pour tout $A \in \Phi$ et tout $\varepsilon > 0$, il existe une partie compacte K de T et une partie ouverte U de T tels que $K \subset A \subset U$, $U \in \Phi$ et $|m|(U - K) < \varepsilon$. Montrer qu’il existe une mesure (non nécessairement positive) $\mu$ sur T telle que $m(A) = \mu^*(A)$ pour tout $A \in \Phi$, et qu’une telle mesure $\mu$ est unique (en introduisant la décomposition $m = m_+ - m_-$ de l’exerc. 1, c), se ramener au cas où $m$ prend des valeurs positives; traiter d’abord le cas où T ∈ Φ et remarquer que m est alors intérieurement régulière; traiter enfin le cas général par recollement de mesures).