Bài tập 7, § 3

Cho $T$ là một không gian tôpô, $\Phi$ là một họ các tập con của $T$, và $m$ là một ánh xạ cộng tính bị chặn tương đối (xem Bài tập 1) của $\Phi$ vào $\mathbf{R}$. Giả sử rằng tồn tại một phủ mở $\mathscr{U}$ của $T$ sao cho $\Phi$ gồm các tập Borel của $T$ được chứa trong hợp của một số hữu hạn phần tử của $\mathscr{U}$. Hơn nữa, giả sử rằng với mọi $A \in \Phi$ và mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập compact $K$ của $T$ và một tập mở $U$ của $T$ sao cho $K \subset A \subset U$, $U \in \Phi$ và $|m|(U - K) < \varepsilon$. Chứng minh rằng tồn tại một độ đo $\mu$ trên $T$ (không nhất thiết dương) sao cho $m(A) = \mu^*(A)$ với mọi $A \in \Phi$, và rằng một độ đo $\mu$ như vậy là duy nhất (bằng cách đưa vào phân tích $m = m_+ - m_-$ của Bài tập 1 c), rút gọn về trường hợp $m$ nhận các giá trị dương; trước hết xét trường hợp $T \in \Phi$ và nhận xét rằng khi đó $m$ là chính quy nội; cuối cùng, xét trường hợp tổng quát bằng cách ghép các độ đo lại với nhau).