Exercice 8, § 3

Soient T un espace topologique et m une application dénombrablement additive (cf. exerc. 1, d)) et bornée de $\mathfrak{B}(T)$ dans $\mathbf{R}$. On note $\Sigma$ l’ensemble des parties boréliennes A de T ayant la propriété suivante: pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un ensemble fermé F et un ensemble ouvert U dans T tel que $F \subset A \subset U$ et $|m(B)| < \varepsilon$ pour toute partie borélienne B de $U - F$ (autrement dit, $|m|(U - F) < \varepsilon$). Montrer que $\Sigma$ est une tribu de parties de T (remarquer d’abord qu’on a $T \in \Sigma$ et que $\Sigma$ est un clan; il suffit alors de prouver que si $(A_n)_{n \in \mathbf{N}}$ est une suite d’éléments de $\Sigma$ deux à deux disjoints, l’ensemble $A = \bigcup_{n \in \mathbf{N}} A_n$ appartient à $\Sigma$; pour cela, choisir des ensembles fermés $F_n$ et des ensembles ouverts $U_n$ tels que $F_n \subset A_n \subset U_n$ et $|m|(U_n - F_n) < \varepsilon/2^n$, puis poser $F = F_0 \cup \ldots \cup F_p$ pour $p$ assez grand et $U = \bigcup_{n \in \mathbf{N}} U_n$.